Comment montre-t-on la formulation du facteur de bruit ?

DESCRIPTION CLASSIQUE DU BRUIT ADDITIF DES AMPLIFICATEURS OPTIQUES V. DALLOT, P. GALLION Département Communications et Electronique, CNRS, URA 820, Ecole Nationale Supérieure des Télécommunications 46 Rue Barrault, 75634 Paris Cedex 13, France Téléphone:(+33) 1 45 81 78 98 E-mail :dallot@com.enst.fr Fax:(+33) 1 45 89 00 20 Partant d’une approche corpusculaire classique intuitive du bruit d’intensité, une représentation phase–quadrature de Rice du bruit optique est proposée. Son application au bruit de sortie des amplificateurs laser permet de distinguer la contribution des fluctuations intrinsèques du signal incident de celles résultant des mécanismes intrinsèques à l’amplification et aux pertes. Cette approche permet en particulier de réévaluer le facteur de bruit F. INTRODUCTION Le calcul de la puissance moyenne d’émission spontanée amplifiée (E.S.A.) est habituellement le point de départ des études sur le bruit des amplificateurs laser. Le battement d’un processus aléatoire additif blanc gaussien de même puissance avec le signal utile permet ensuite de décrire le bruit résultant d’une détection quadratique. Cette approche globale du bruit de sortie présente toutefois l’inconvénient de ne pas distinguer l’influence des fluctuations intrinsèques du signal incident de celles liées aux propriétés intrinsèques de l’amplificateur. De plus elle s’avère insuffisante pour discuter l’amplification des états comprimés de la lumière et l’amplification à bruit réduit. L’objectif de cette communication est de présenter une approche quasi-classique du bruit optique en utilisant le langage et le formalisme de l’ingénieur en télécommunications. Le bruit optique y est traité comme un bruit additif gaussien (AGWN) et l’utilisation de la représentation de Rice permet de prendre en compte le bruit pour les deux quadratures du champ. De plus cette approche distingue pour le bruit de sortie les contributions respectives aux fluctuations intrinsèques du champ signal en entrée de celles inhérentes aux mécanismes d’amplification et de pertes résiduelles. Le formalisme corpusculaire classique du bruit d’intensité (bruit de grenaille et bruit de partition) est tout d’abord rappelé. Les composantes du bruit pour les deux quadratures du champ ainsi que le bruit propre au mécanisme d’amplification et d’atténuation en sont déduites. Finalement une comparaison de l’approche utilisée avec celle de l’E.S.A. est effectuée et une réévaluation du facteur de bruit F est proposée. II – FORMALISME CORPUSCULAIRE CLASSIQUE : BRUIT DE GRENAILLE ET BRUIT DE PARTITION Si l’on considère un flux moyen de photons r (z) incident sur un milieu atténuateur de coefficient a et d’épaisseur dz, le flux moyen en sortie est r (z+ dz) = (1- adz).r (z). En terme de densité spectrale les fluctuations sont exprimées par Srr(w, z+ dz) = adz.(1- adz).r (z) = adz.r (z+ dz) (1). Si l’on identifie r (z) au bruit de grenaille, les fluctuations résultantes de la traversée du milieu sont identifiées comme le bruit de partition Srr(w, z+ dz) = adz.(1- adz).r (z) [3], [4]. De plus par multiplication de (1) par le double du carré de l’énergie des photons incidents 2(hn0)2, où n0 est la fréquence des photons, on retrouve la formulation habituelle de la densité spectrale de puissance SPP (w, z+ dz) = [ a(hn0 / 2)dz] .4P (z+ dz) (2). III – BRUITS INTRINSEQUES POUR L’AMPLITUDE COMPLEXE, BRUITS LIES A L’AMPLIFICATION ET AUX PERTES Dans cette approche les fluctuations intrinsèques du champ électromagnétique sont décrites par une représentation de Rice (cf. Figure 1). La puissance moyenne est donnée par P ª (A + NI )2 ª (A )2 + 2.A .NI où A est l’amplitude moyenne du champ et NI l’amplitude de bruit sur la quadrature en phase. On en déduit la variance des fluctuations de puissances < DP2 >ª 4.( A )2.N I 2 ª 4P .P I où PI est la puissance de bruit sur la quadrature en phase. De la même manière la variance des fluctuations de phase associées est < Dj2 >ª NQ 2 /(A )2ª P Q / P , où NQ et PQ sont respectivement l’amplitude et la puissance de bruit sur la composante en quadrature. Pour une équipartition de la puissance de bruit P N / 2 = P I = P Q ( 3 ) où PN est la puissance totale de bruit, les densités spectrales dissymétriques de puissance de bruit associées s’écrivent respectivementSPP = 4P .SII (4) et Sjj = SQQ / P . D’après (3) SNN = SQQ = SII . Il est à noter que si ces trois densités sont égales, la bande passante optique Dn associée à SNN est le double de celle utilisée pour les processus en bande de base NI et NQ [2]. La conjugaison canonique des deux quadratures pour une puissance de bruit incidente minimum P N / 2 = P I = P Q = hn0 / 2 est respectée puisque < DP2 >1/ 2 .< Dj 2 >1/ 2= hn0 / 2. L’application d’une démarche similaire à un milieu atténuateur de largeur dz conduit à décrire le bruit en sortie comme la somme du bruit associé aux fluctuations atténuées de point zéro du champ incident égale à (1-a)(hn0/2) et du bruit de partition SNN = SQQ = SII = a (hn0 / 2) obtenu par comparaison de (3) et (4). Même après atténuation, la densité spectrale de puissance de bruit total égale la valeur minimum (hn0/2) prouvant la conjugaison canonique des deux composantes phase–quadrature. Re Im NI NQ N A f Figure 1!: Représentation de Rice du champ et du bruit additif. IV – BRUIT ADDITIF D’UN AMPLIFICATEUR La conservation, entre l’entrée et la sortie, de la relation de commutation résultant de la conjugaison canonique impose à tout amplificateur l’introduction d’un bruit minimal additif de densité spectrale dissymétrique (G-1).hn0/2 [1]. L’application de ce formalisme à une tranche d’amplificateur de largeur dz, de coefficient linéique d’amplification b et de coefficient linéique d’atténuation a, conduit aux bruits additifs respectifs b.dz.(hn0/2) et a.dz.(hn0/2) [7]. Ces deux quantités correspondent à la contribution intrinsèque de l’amplification au bruit en sortie. Lorsque les fluctuations intrinsèques du champ électromagnétique sont les uniques sources de bruit à l’entrée, la densité spectrale de bruit total en sortie d’une tranche dz est alors (5) : SNN(w, z+ dz) = [ 1+ (b - a ).dz] SNN(w, z)+ [ (a + b ).(hn0 / 2)dz] (5) Quand les fluctuations du champ incident sont minimum, c’est à dire pour SNN(w,0)=hn0/2, à l’entrée d’un milieu amplificateur de longueur L et de coefficients a et b supposés homogènes, la densité spectrale de puissance de bruit totale obtenue après intégration est : SNN(w, L) = Ksp.(G - 1).hn0 / 2+ G .SNN(w, 0)= Ksp.(G - 1).hn0 / 2+ G .hn0 / 2 (6) Les deux termes de (6) constituent, dans l’ordre, le bruit ajouté par l’amplificateur et le bruit généré par les fluctuations du champ à l’entrée. G et Ksp sont définis comme le gain net G =G0.exp[(b-a).L] et comme Ksp = [ (a + b) /(b - a )] = 2nsp- 1 [2], [3]. V – COMPARAISON AVEC L’APPROCHE E.S.A. Une réécriture simple de l’équation (6) montre que ce résultat est identique à celui donné par une approche globale E.S.A.. SNN(w, L) = 2nsp.(G - 1).hn0 / 2+ hn0 / 2 (7) Pour un milieu supposé sans perte nsp=1, (7) s’écrit SNN(w, L) = (2.G - 1).hn0 / 2. Dans l’approche ESA, la densité spectrale de bruit apparaît comme la somme de la contribution de l’ESA et des fluctuations du vide sans distinguer les contributions respectives de l’amplificateur et des fluctuations intrinsèques du champ électromagnétique à l’entrée. VI - FACTEUR DE BRUIT F Le facteur de bruit F est défini suivant la norme IEEE dont l’exactitude fut récemment discutée [5], [6]. La correction du facteur multiplicatif de bruit pour un amplificateur linéaire à coefficients de gain et de perte constants conduit à une valeur de F telle que F = 1+ Ksp(1- 1/ G ) et non plus F = 1+ nsp(1- 1/ G ). CONCLUSION Les différentes sources de bruit en sortie d’un amplificateur optique ont été clarifiées et leur influence relative évaluée. Les rôles des fluctuations intrinsèques du champ incident et des fluctuations associées aux mécanismes d’amplification et de perte dans l’amplificateur ont été identifiés. Le facteur de bruit F a été réévalué. Cette nouvelle formulation ouvre la voie à une description simple de l’amplification d’états comprimés et de l’amplification à bruit réduit sur une quadrature. BIBLIOGRAPHIE [1] H. HEFFNER, «The fundamental noise limit of linear amplifiers », Proc. of the IRE, 1604-1608 (1962). [2] B.O. NILSSON, “!Noise mechanisms in laser diodes”, IEEE Trans. on electron devices, 41, 11, 2139-2150 (1994). [3] G. GIULIANI, “!Semiclassical particle-like description of optical amplifier noise”, Opt. and Qu. Electron., 31, 367-376 (1999). [4] P. GALLION, F. JEREMIE, J.L. 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