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Comment calculer l'aire d'un cercle ?

28 Mars 2012 | Mathématiques | Collège

Comment calculer l'aire d'un cercle ?

Superdoc

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Salut, je te recommande la lecture de ce document : http://questions.digischool.fr/Mathematiques-qr/Comment-calculer-laire-dun-cercle-73930.html sur questions.digischool.fr.
Comment calculer l'aire d'un cercle ?
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Les réponses à la question Comment calculer l'aire d'un cercle ?

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01 Avril 13h01

Calcul de l’aire d’un cercle : Le calcul du périmètre d’un carré est simple. Le calcul de son aire aussi Cela se corse un peut plus lorsqu’il s’agit de calculer celle d’un cercle. Comment calculer l’air d’un cercle ? Prenez un compas et tracez un cercle de centre O de rayon : 5 cm , soit de diamètre : 10 cm . Placez un point A sur le cercle ainsi créé. Un fois chose faite, prenez un écartement de 5 cm pour votre compas. Placez celui-ci sur le point A et créez le point B sur le cercle grâce au compas. Faites de même pour créer les points : C ; D ; E ; F Tracez maintenant les segments [AB] [BC] [CD] [DE] [EF] [FA] Ainsi que [AO] [BO] [CO] [DO] [EO] [FO] Nous obtenons 6 triangles équilatéraux dans notre cercle. Si vous les colorés vous constaterez qu’il reste des zones blanches que les triangles ne couvrent pas. Refaites la même démarche avec un cercle de rayon : 5 cm Mais prenez cette fois un écartement de compas de 2.5 cm Une fois les triangles colorés vous constaterez que les zones blanches ont diminuée. En fait, il suffirait de trouver le nombre exact de triangles qu’il nous faut pour couvrir totalement le cercle sans zone blanche pour calculer l’air du cercle. Car oui, nous savons calculer l’air d’un triangle. Et même de plusieurs triangles ! Malheureusement ici, la tâche semble impossible car il nous faudrait une infinité de triangle ! Heureusement Archimède, un savant grec né vers -287 avant J-C (cela nous rajeunit pas) , a trouvé une parade ! Reprenez votre 1er cercle de diamètre 5 cm avec l’écartement de compas de : 5 cm Découper tous les triangles de manière à pouvoir réaliser le puzzle qui suit : 1. Placez la moitié de vos triangles base contre base. En dent de scie. 2. Faites de même avec ceux restant. 3. Puis fusionnez les scies obtenues de manière à réaliser un parallélogramme. (ou un sourire de requin aussi ;) ) Nous savons calculer l’aire d’un parallélogramme avec la formule suivante : Aire Parallélogramme = Base * Hauteur Dans notre sourire de requin nous connaissons la base et la hauteur ! Pour la base : Il nous suffit de reprendre l'écartement du compas qui a servi a crée les points B à F et de le multiplier par le nombre de triangles constituant la base : ici 3 La hauteur est le rayon de notre cercle soit : 5 cm. (Les triangles étant ici équilatéraux on peut aussi en déduire que leur base est de 5 cm ce qui nous donne 15 cm pour la base du parallélogramme) Nous obtenons donc : Aire Parallélogramme = Base * Rayon = 5 * 3 * 5 = 15 * 5 = 75 cm² Seulement avec cette méthode nous n’avons pas compté les zones blanches supprimées lors du découpage … La base de notre parallélogramme , zone blanches comprises, correspond en fait à la moitié du périmètre de notre cercle. (Rappelez-vous nous avons divisez en deux groupes identiques nos triangles) Et la hauteur, qui ne change pas, correspond toujours au rayon de celui-ci. Seulement comment calculer le périmètre d’un cercle ? Pour cela nous faisons appel à Pi… Pi (qui s’écrit aussi : π ) est le rapport entre la circonférence (le périmètre) d’un cercle et son diamètre. Pi est en fait la première lettre de « περίμετρος » qui signifie périmètre en grec ancien. C’est une très bonne nouvelle ! Puisque c’est exactement le périmètre de notre cercle dont nous avons besoin ! Pi comme dit plus haut est le rapport entre la circonférence et le diamètre d’un cercle. Autrement dit : Pi = Périmètre / Diamètre Comme vu plus haut, le périmètre d’un cercle est appelé circonférence. Nous utiliserons ce terme dorénavant. Nous en déduisons la formule pour la circonférence : Circonférence = Pi * diamètre Or le diamètre est en fait le double du rayon. Ce qui nous donne : Circonférence = Pi * 2 * Rayon Reprenons notre cas en « dents de scie ». Il nous faut calculer la base « zones blanches » comprises Cette base que l’on cherche est la moitié de la circonférence de notre cercle. Base = Circonférence / 2 Base = [Pi * 2 * Rayon] / 2 Nous remplaçons « Circonférence » par sa valeur trouvée plus haut. Base = Pi * Rayon Par simplification ( 2/2 = 1) Calculons maintenant l’aire de notre parallélogramme, appelons la Aire P : Aire P = Base * Hauteur Aire P = Pi * Rayon * Hauteur Nous avons remplacé « Base » par la valeur trouvée ci-dessus. Aire P = Pi * Rayon * Rayon Puisque nous savons que la hauteur de notre trapèze correspond au rayon de notre cercle. Aire P = Pi * Rayon ² Le « ² » signifie « au carré » ou encore « valeur*valeur », ici nous avons « Rayon * Rayon » on peut le remplacé par « Rayon² » Nous savons que notre cercle à un rayon de : 5 cm. Pi , en l’arrondissant, vaut 3,14. Ce qui nous donne : Aire P = Aire du cercle = Pi * rayon² = 3.14 * 5² = 3.14 * 5 * 5 = 3.14 *25 = 78.5 cm² Nous avions trouvé 75cm² lors de notre calcul sans les zones blanches. Nous trouvons maintenant 78.5 cm² ! La valeur exact sans arrondi de Pi est de 78.53981… cm². Ainsi l’aire d’un cercle se calcule grâce à la formule : Pi * Rayon² A son époque, Archimède ne possédait qu’une approximation de PI. Je vous invite d’ailleurs à chercher plus d’information sur « PI » est son histoire.
Cidelacomte

Cidelacomte

41 jetons

11 Avril 21h37

La formule de l'aire plus haut est exacte. L'aire du cercle correspond à la surface du cercle c'est pour cela que l'unité est une mesure au carrée! Et je voudrais rajouter que le rayon est la moitié du diamètre. De plus tu ne doit pas oublier que pi est une constante qui vaut approximativement 3,14. Donc lors des calculs utilise ta calculatrice pour avoir une valeur exacte de pi. En effet, il y a une touche pi toute faite sur les calculatrice. Et surtout ne fait jamais l'erreur de confondre le périmètre et l'aire. Le périmètre étant juste la circonférence du cercle. Pour info les formule de périmètre et aire ont très bien été donné dans la première réponse.
lilou lolo

lilou lolo

19 jetons

29 Mars 11h26

L'aire d'un cercle se calcule à l'aide de la formule ci-dessous : A = pi x r² Tandis que le périmètre est P = 2 x pi xr Moyen mémotechnique : Toute l'aire du cercle appartient au roi Pierre II (pi x r²) Il faut faire le tour du cercle en tenant deux pierres (2 x pi x r)
wam29

wam29

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(95)

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