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Étude de la continuité de la fonction partie entière ?

18 Octobre 2009 | Mathématiques | Lycée

Étude de la continuité de la fonction partie entière ?

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Salut, je te recommande la lecture de ce document : http://questions.digischool.fr/Mathematiques-qr/Etude-de-la-continuite-de-la-fonction-partie-entiere-14620.html sur questions.digischool.fr.
Étude de la continuité de la fonction partie entière ?
Bonjour, j'ai un DM et je voudrais savoir si ma réponse est juste.Voici j'énonce : Soit la fonction f(x)=(x-E(x))(x-E(x)-1). Prouver que f est continue sur R J'ai décomposer f en g(x)=x-E(x) et h(x)= x-E(x)-1 Soit X0 appartient a Z ; g(x0)= x-E(x0)= x-x0 g(x)= x-E(x0)= x-(x0-1) quand x tend vers x0- g(x)= x-E(x0)= x-x0 -------------------x0+ F est discontinue en tout point de Z Soit X0 n'appartient pas à Z ; g(x0)= x-E(x0) = x-x0 g(x)= x-E(x0) = x-x0 quand x tend vers x0- g(x)= x-E(x0) = x-x0 ------------------x0+ F est donc continue en tout point de R /Z Soit h(x)= x-E(x)-1 donc h(x)= g(x)-1 de la forme h(x)= X-1 Or la fonction est continue en x0 Or, pour une fonction g continue en x0 et une fonction h continue en h(x0),la composée hog est continue en x0 donc pour x0 n'appartient pas a Z la fonction est continue et pour x0 appartient a Z la fct n'est pas continue. Le produit des fonctions continues en x0 sont des fonctions continues en x0 .Donc f est continue sur R/Z
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Les réponses à la question Étude de la continuité de la fonction partie entière ?

1

24 Novembre 23h49

On demande sur R pas seulement sur R/Z donc réponse incorrecte. Sur la calculatrice le trait est continue donc cela semble vraisemblable comme E(x+1)=E(x)+1 f(x+1)=(x+1-E(x)-1)(x+1-E(x)-1-1) f(x+1)=(x-E(x))(x-E(x)-1)=f(x) donc f périodique de période 1 Il suffit d'étudier f sur [0;1[ pour prouver sa continuité Sur ]0;1[ : E(x)=0 donc f(x)=x(x-1) fonction polynôme de degré 2 donc continue Le seul problème est en 0 les limites à droite et à gauche en 0 sont elles égales à f(0) ? f(0)=0 facile limite à doite=0 car f(x)=x(x-1) a pour limite à droite 0 en 0 Sur ]0;1[ E(x)=-1 (pas pour des américains mais cela est une autre histoire) f(x)=(x+1)x donc f(x) a pour limite à gauche 0 en 0 les 2 "bouts" du graphe se "raccordent" correctement en 0
papijack

papijack

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